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2003 年考研数学（三）第 9 题

选择题 · 4 分

设

p_{n} = \frac{a _{n} + ∣ a _{n} ∣}{2}

，

q_{n} = \frac{a _{n} - ∣ a _{n} ∣}{2}

，

n = 1, 2, \dots

，则下列命题正确的是（　　）

A若 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 条件收敛，则 $n = 1 \sum \infty p_{n}$ 与 $n = 1 \sum \infty q_{n}$ 都收敛。
B若 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 绝对收敛，则 $n = 1 \sum \infty p_{n}$ 与 $n = 1 \sum \infty q_{n}$ 都收敛。
C若 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 条件收敛，则 $n = 1 \sum \infty p_{n}$ 与 $n = 1 \sum \infty q_{n}$ 的敛散性都不定。
D若 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 绝对收敛，则 $n = 1 \sum \infty p_{n}$ 与 $n = 1 \sum \infty q_{n}$ 的敛散性都不定。

提示 1

先写出

p_{n} = \frac{∣ a _{n} ∣ + a _{n}}{2} \geq 0

与

- q_{n} = \frac{∣ a _{n} ∣ - a _{n}}{2} \geq 0

，它们都不超过

∣ a_{n} ∣

。

提示 2

绝对收敛即

\sum ∣ a_{n} ∣

收敛，用正项级数比较判别法即得

\sum p_{n}, \sum (- q_{n})

收敛。

提示 3

条件收敛时

\sum ∣ a_{n} ∣

发散，而

∣ a_{n} ∣ = p_{n} - q_{n}

，可推出

\sum p_{n}, \sum q_{n}

必发散，排除 A。

答案与详解

答案 B

思路（为什么这么做）

看到用

\frac{a _{n} \pm ∣ a _{n} ∣}{2}

拆分级数 → 认清

p_{n}

（正部）、

- q_{n}

（负部）都是

[0, ∣ a_{n} ∣]

内的正项，直接套比较判别法。坑：绝对收敛

\Rightarrow

正、负部都收敛；条件收敛

\Rightarrow

正、负部都发散。

解答

本题考查绝对收敛/条件收敛与正项级数比较判别法。 注意

p_{n} = \frac{∣ a _{n} ∣ + a _{n}}{2} \geq 0

，

- q_{n} = \frac{∣ a _{n} ∣ - a _{n}}{2} \geq 0

，且两者都

\leq ∣ a_{n} ∣

。

若

\sum a_{n}

绝对收敛，即

\sum ∣ a_{n} ∣

收敛。由

0 \leq p_{n} \leq ∣ a_{n} ∣

、

0 \leq - q_{n} \leq ∣ a_{n} ∣

及正项级数比较判别法，

\sum p_{n}

与

\sum (- q_{n})

都收敛，故

\sum p_{n}

与

\sum q_{n}

都收敛，B 正确。

反之若

\sum a_{n}

只条件收敛，则

\sum ∣ a_{n} ∣

发散；而

∣ a_{n} ∣ = p_{n} - q_{n}

，若

\sum p_{n}, \sum q_{n}

都收敛将推出

\sum ∣ a_{n} ∣

收敛，矛盾——故 A 错。选 B。

考点：交错级数与绝对/条件收敛、正项级数的判别法

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