2003 年考研数学（三） 第 10 题

看到「已知伴随矩阵的秩」→ 先用 $r({\mathbf{A}}^{\ast })\in \{n,1,0\}$ 反推 $r(\mathbf{A})$，本题 $r({\mathbf{A}}^{\ast })=1\Rightarrow r(\mathbf{A})=n-1$。坑：$|\mathbf{A}|=0$ 给出两支，必须排除令 $r(\mathbf{A})$ 掉到 $1$ 的那支（$a=b$）。

本题考查伴随矩阵秩与原矩阵秩的关系。 对 $n$ 阶矩阵：$r({\mathbf{A}}^{\ast })=n$（当 $r(\mathbf{A})=n$）、$=1$（当 $r(\mathbf{A})=n-1$）、$=0$（当 $r(\mathbf{A})<n-1$）。

由 $r({\mathbf{A}}^{\ast })=1$（$n=3$）得 $r(\mathbf{A})=2$，故 $|\mathbf{A}|=0$。而 $|\mathbf{A}|=(a+2b)(a-b{)}^2=0$，得 $a+2b=0$ 或 $a=b$。

但当 $a=b$ 时 $\mathbf{A}$ 三行相同，$r(\mathbf{A})=1<2$，与 $r(\mathbf{A})=2$ 矛盾；故必须 $a\ne b$ 且 $a+2b=0$。选 C。