2003 年考研数学（三） 第 13 题

看到「补充定义使函数在端点连续」→ 补的值就是该端点的单侧极限。坑：$\frac{1}{\sin \pi x}-\frac{1}{\pi (1-x)}$ 是 $\infty -\infty$，要换元 $t=\pi (1-x)$ 通分成 $\frac{t-\sin t}{t\sin t}$ 再定阶（$t-\sin t\sim t^3/6$）。

本题考查用单侧极限补充定义、消去可去间断点。 $f$ 在 $\left[\frac{1}{2},1\right)$ 内连续，只需令 $f(1)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)$ 即可在 $\left[\frac{1}{2},1\right]$ 上连续。

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\frac{1}{\pi }+\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left[\frac{1}{\sin \pi x}-\frac{1}{\pi (1-x)}\right]$。令 $t=\pi (1-x)\to 0^{+}$，并注意 $\sin \pi x=\sin (\pi -\pi x)=\sin \pi (1-x)=\sin t$，则括号 $=\frac{1}{\sin t}-\frac{1}{t}=\frac{t-\sin t}{t\sin t}$。

当 $t\to 0^{+}$：$\frac{t-\sin t}{t\sin t}\sim \frac{t-\sin t}{t^2}\stackrel{\text{洛必达}}{\to }\frac{1-\cos t}{2t}\to 0$（或用 $t-\sin t\sim \frac{t^3}{6}$）。故 $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\frac{1}{\pi }$，补充定义 $f(1)=\frac{1}{\pi }$。