2003 年考研数学（三）第 14 题

解答题 · 8 分

设

f (u, v)

具有二阶连续偏导数，且满足

\frac{\partial ^{2} f}{\partial u ^{2}} + \frac{\partial ^{2} f}{\partial v ^{2}} = 1

，又

g (x, y) = f [x y, \frac{1}{2} (x^{2} - y^{2})]

，求

\frac{\partial ^{2} g}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} g}{\partial y ^{2}}

。

提示 1

设

u = x y, v = \frac{1}{2} (x^{2} - y^{2})

，先写一阶

g_{x} = y f_{u} + x f_{v}, g_{y} = x f_{u} - y f_{v}

。

提示 2

再对

x, y

各求一次导，注意

f_{u}, f_{v}

仍是

u, v

的函数（继续用链式法则），并用

f_{uv} = f_{v u}

。

提示 3

相加时

f_{v}

与

- f_{v}

抵消、交叉项

\pm 2 x y f_{uv}

抵消，剩

(x^{2} + y^{2}) (f_{uu} + f_{v v})

。

答案与详解

答案 $\frac{\partial ^{2} g}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} g}{\partial y ^{2}} = x^{2} + y^{2}$

思路（为什么这么做）

看到「复合函数二阶偏导 + 已知

f_{uu} + f_{v v}

」→ 老实用链式法则展开

g_{xx}, g_{y y}

再相加，让一阶项与交叉项对消。坑：求二阶导时

f_{u}, f_{v}

要继续对中间变量求导（别当常数），且

u_{x} = y, v_{x} = x

不能弄反。

解答

本题考查多元复合函数的二阶偏导。 记

u = x y, v = \frac{1}{2} (x^{2} - y^{2})

，则

u_{x} = y, u_{y} = x, v_{x} = x, v_{y} = - y

。一阶：

g_{x} = y f_{u} + x f_{v}, g_{y} = x f_{u} - y f_{v}

。

二阶（

f

二阶连续偏导，故

f_{uv} = f_{v u}

）：

g_{xx} = y (y f_{uu} + x f_{uv}) + f_{v} + x (y f_{uv} + x f_{v v}) = y^{2} f_{uu} + 2 x y f_{uv} + x^{2} f_{v v} + f_{v}

；

g_{y y} = x (x f_{uu} - y f_{uv}) - f_{v} - y (x f_{uv} - y f_{v v}) = x^{2} f_{uu} - 2 x y f_{uv} + y^{2} f_{v v} - f_{v}

。

相加：

g_{xx} + g_{y y} = (x^{2} + y^{2}) (f_{uu} + f_{v v})

。代入

f_{uu} + f_{v v} = 1

，得

\frac{\partial ^{2} g}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} g}{\partial y ^{2}} = x^{2} + y^{2}

。

2003 年考研数学（三） 第 14 题