2003 年考研数学（三） 第 15 题

看到被积函数只依赖 $x^2+y^2$、区域是圆盘 → 极坐标 + 换元 $t=r^2$。坑：$r\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\mathrm{d}(r^2)$ 别漏 $\frac{1}{2}$；$\int {\mathrm{e}}^{-t}\sin t\mathrm{d}t$ 需分部积分两次回到自身再解出。

本题考查二重积分的极坐标计算 + 分部积分。 先提出常数 ${\mathrm{e}}^{\pi }$：$I={\mathrm{e}}^{\pi }{\iint }_D{\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)}\sin (x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$（$0\le \theta \le 2\pi ,0\le r\le \sqrt{\pi }$）：$I={\mathrm{e}}^{\pi }{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\sqrt{\pi }}r{\mathrm{e}}^{-r^2}\sin r^2\mathrm{d}r$。再令 $t=r^2$（$r\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\mathrm{d}t$）得 $I=\pi {\mathrm{e}}^{\pi }{\int }_0^{\pi }{\mathrm{e}}^{-t}\sin t\mathrm{d}t$。

由分部积分两次得 ${\int }_0^{\pi }{\mathrm{e}}^{-t}\sin t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}({\mathrm{e}}^{-\pi }+1)$，故 $I=\pi {\mathrm{e}}^{\pi }\cdot \frac{1}{2}({\mathrm{e}}^{-\pi }+1)=\frac{\pi }{2}({\mathrm{e}}^{\pi }+1)$。