2003 年考研数学（三） 第 16 题

看到「缺项幂级数（只含偶次、且带 $\frac{1}{2n}$）求和」→ 逐项求导消去分母凑成等比级数，求和后再积分回去。坑：积分要带初值 $f(0)$；极值由 $f^{\prime }(x)=-\frac{x}{1+x^2}$ 在 $0$ 处由正变负判为极大。

本题考查幂级数求和（逐项求导后积分还原）与求极值。 记 $f(x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{2n}$，$f(0)=1$。

逐项求导：$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{x}^{2n-1}=-x\sum _{n=1}^{\infty }(-x^2{)}^{n-1}=-\frac{x}{1+x^2}$（$|x|<1$）。

积分还原：$f(x)=f(0)+{\int }_0^x\left(-\frac{t}{1+t^2}\right)\mathrm{d}t=1-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)$。由 $f^{\prime }(x)=-\frac{x}{1+x^2}=0$ 得 $x=0$；当 $-1<x<0$ 时 $f^{\prime }>0$，当 $0<x<1$ 时 $f^{\prime }<0$，故 $x=0$ 为极大值点，极大值 $f(0)=1$。