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2003 年考研数学（三）第 17 题

解答题 · 9 分

设

F (x) = f (x) g (x)

，其中

f (x), g (x)

在

(- \infty, + \infty)

内满足以下条件：

f^{'} (x) = g (x), g^{'} (x) = f (x)

且

f (0) = 0

，

f (x) + g (x) = 2 e^{x}

。（1）求

F (x)

所满足的一阶微分方程；（2）求出

F (x)

的表达式。

提示 1

求

F^{'} = f^{'} g + f g^{'}

，用

f^{'} = g, g^{'} = f

得

F^{'} = f^{2} + g^{2}

。

提示 2

用

f^{2} + g^{2} = (f + g)^{2} - 2 f g = (2 e^{x})^{2} - 2 F

化出

F^{'} + 2 F = 4 e^{2 x}

。

提示 3

解一阶线性方程得

F = e^{2 x} + C e^{- 2 x}

，用

F (0) = 0

定

C = - 1

。

答案与详解

答案（1） $F^{'} (x) + 2 F (x) = 4 e^{2 x}$ ；（2） $F (x) = e^{2 x} - e^{- 2 x}$

思路（为什么这么做）

看到「

F = f g

且给了

f^{'}, g^{'}

的互换关系」→ 求

F^{'}

后用

f^{2} + g^{2} = (f + g)^{2} - 2 f g

把它写回含

F

的一阶线性方程。坑：初值

F (0) = f (0) g (0) = 0

（别忘

f (0) = 0

），积分因子法解出后定常数。

解答

本题考查一阶线性微分方程的建立与求解。（1）

F^{'} = f^{'} g + f g^{'} = g^{2} + f^{2} = (f + g)^{2} - 2 f g = (2 e^{x})^{2} - 2 F

，即

F^{'} (x) + 2 F (x) = 4 e^{2 x}

。

（2）一阶线性方程，积分因子

e^{\int 2 d x} = e^{2 x}

：

F (x) = e^{- 2 x} (\int 4 e^{2 x} \cdot e^{2 x} d x + C) = e^{- 2 x} (e^{4 x} + C) = e^{2 x} + C e^{- 2 x}

。

由

F (0) = f (0) g (0) = 0

（因

f (0) = 0

）得

1 + C = 0

，

C = - 1

。故

F (x) = e^{2 x} - e^{- 2 x}

。

考点：一阶微分方程（可分离、齐次、一阶线性）、求导法则（四则、复合、反函数）

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