2003 年考研数学（三） 第 18 题

看到「若干函数值之和 + 要证 $f^{\prime }(\xi )=0$」→ 先用介值定理造出两个相等的函数值，再对这段区间用罗尔定理。坑：介值定理要先由「和」估出中间值 $1$ 落在 $[m,M]$ 内；罗尔区间端点是 $c$ 与 $3$。

本题考查介值定理 + 罗尔定理的组合证明。 因 $f$ 在 $[0,2]\subset [0,3]$ 上连续，设其在 $[0,2]$ 上的最小值为 $m$、最大值为 $M$，则 $3m\le f(0)+f(1)+f(2)\le 3M$，即 $m\le 1\le M$。

由介值定理，存在 $c\in [0,2]$ 使 $f(c)=1$。

于是 $f(c)=1=f(3)$，且 $f$ 在 $[c,3]$ 上连续、在 $(c,3)$ 内可导，由罗尔定理存在 $\xi \in (c,3)\subset (0,3)$ 使 $f^{\prime }(\xi )=0$。证毕。