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2003 年考研数学（三）第 19 题

解答题 · 13 分

已知齐次线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ (a_{1} + b) x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{3} x_{3} + \dots + a_{n} x_{n} = 0, a_{1} x_{1} + (a_{2} + b) x_{2} + a_{3} x_{3} + \dots + a_{n} x_{n} = 0, a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + (a_{3} + b) x_{3} + \dots + a_{n} x_{n} = 0, \dots\dots a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{3} x_{3} + \dots + (a_{n} + b) x_{n} = 0,

其中

i = 1 \sum n a_{i} \neq = 0

。试讨论

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

和

b

满足何种关系时，（1）方程组仅有零解；（2）方程组有非零解，并在有非零解时求此方程组的一个基础解系。

提示 1

先算系数行列式

∣ A ∣ = (\sum a_{i} + b) b^{n - 1}

（

b E

加秩一矩阵的经典结论）。

提示 2

仅有零解

⟺ ∣ A ∣ \neq = 0 ⟺ b \neq = 0

且

b \neq = - \sum a_{i}

。

提示 3

有非零解分两支：

b = - \sum a_{i}

时各行和为

0

给出解

(1, \dots, 1)^{T}

；

b = 0

时退化为一个方程，写

n - 1

个自由解。

答案与详解

答案（1）当 $b \neq = 0$ 且 $b \neq = - i = 1 \sum n a_{i}$ 时仅有零解；（2）当 $b = 0$ 或 $b = - i = 1 \sum n a_{i}$ 时有非零解： $b = - \sum a_{i}$ 时基础解系为 $(1, 1, \dots, 1)^{T}$ ； $b = 0$ （设 $a_{1} \neq = 0$ ）时基础解系为 $ξ_{1} = (- \frac{a _{2}}{a _{1}}, 1, 0, \dots, 0)^{T}, ξ_{2} = (- \frac{a _{3}}{a _{1}}, 0, 1, \dots, 0)^{T}, \dots, ξ_{n - 1} = (- \frac{a _{n}}{a _{1}}, 0, \dots, 0, 1)^{T}$

思路（为什么这么做）

看到「

b E +

每列相同的秩一矩阵」型含参方程组 → 系数行列式

= (\sum a_{i} + b) b^{n - 1}

，按它是否为零区分零解与非零解。坑：非零解有两支（

b = 0

与

b = - \sum a_{i}

），两支的

r (A)

与基础解系完全不同，需分别写。

解答

本题考查含参齐次线性方程组解的判定（用系数行列式）。 系数矩阵

A

是

b E

加上「每列为

a_{i}

」的秩一矩阵，其行列式

∣ A ∣ = (i = 1 \sum n a_{i} + b) b^{n - 1}

。

（1）当

b \neq = 0

且

\sum a_{i} + b \neq = 0

（即

b \neq = - \sum a_{i}

）时

∣ A ∣ \neq = 0

，方程组仅有零解。

（2）当

b = 0

或

b = - \sum a_{i}

时

∣ A ∣ = 0

，有非零解。①

b = - \sum a_{i}

：每行元素之和为

\sum a_{i} + b = 0

，故

(1, 1, \dots, 1)^{T}

是解，且可证

r (A) = n - 1

，基础解系即

(1, 1, \dots, 1)^{T}

。②

b = 0

：方程组同解于单个方程

a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n} = 0

，

r (A) = 1

，设

a_{1} \neq = 0

，得

n - 1

个自由解

ξ_{j} = (- \frac{a _{j + 1}}{a _{1}}, 0, \dots, 1, \dots, 0)^{T}

（第

j + 1

个分量为

1

，

j = 1, \dots, n - 1

）。

考点：齐次线性方程组与基础解系、行列式的计算

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