2003 年考研数学（三） 第 20 题

看到「给特征值之和与积求参数」→ 之和 $=\mathrm{tr}$、之积 $=\det$ 两个方程；化标准形用正交变换：实对称矩阵求特征值特征向量 → 单位正交化 → $\mathbf{Q}$，标准形系数即特征值。坑：不同特征值的特征向量自动正交，重根特征向量若不正交需先施密特；$b>0$ 舍去 $b=-2$。

本题考查由特征值的和/积定参数，再用正交变换化二次型为标准形（实对称矩阵正交对角化）。 二次型矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& b\\ 0& 2& 0\\ b& 0& -2\end{array}\right)$。

（1）特征值之和 $=\mathrm{tr}\mathbf{A}=a+2-2=a=1$，故 $a=1$；特征值之积 $=|\mathbf{A}|=2(a\cdot (-2)-b^2)=-2(2a+b^2)=-12$，得 $2a+b^2=6$，$b^2=4$，由 $b>0$ 得 $b=2$。

（2）$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 2& 0\\ 2& 0& -2\end{array}\right)$，由 $|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=0$ 解得 ${\lambda }_1=-3,{\lambda }_2={\lambda }_3=2$。对应特征向量 ${\mathbf{\xi }}_1=(1,0,-2{)}^{\mathrm{T}}$，${\mathbf{\xi }}_2=(2,0,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\xi }}_3=(0,1,0{)}^{\mathrm{T}}$，它们两两正交，单位化得 ${\mathbf{\gamma }}_1=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,0,-2{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\gamma }}_2=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,0,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\gamma }}_3=(0,1,0{)}^{\mathrm{T}}$。取 $\mathbf{Q}=({\mathbf{\gamma }}_1,{\mathbf{\gamma }}_2,{\mathbf{\gamma }}_3)$，在正交变换 $\mathbf{X}=\mathbf{Q}\mathbf{Y}$ 下 $f=-3y_1^2+2y_2^2+2y_3^2$。