2003 年考研数学（三） 第 21 题

看到 $Y=F(X)$（$X$ 连续、$F$ 严格单调）→ 概率积分变换，结论恒为 $Y\sim U(0,1)$。坑：仍要按定义 $F_Y(y)=P\{F(X)\le y\}$ 分段推导，$Y$ 的取值范围锁死在 $[0,1]$。

本题考查随机变量函数的分布（概率积分变换）。 先求 $F(x)$：$x<1$ 时 $F=0$；$x>8$ 时 $F=1$；$1\le x\le 8$ 时 $F(x)={\int }_1^x\frac{1}{3\sqrt[3]{u^2}}\mathrm{d}u=\sqrt[3]{x}-1$。

$Y=F(X)$，其分布函数 $F_Y(y)=P\{F(X)\le y\}$。当 $y<0$ 时为 $0$；当 $y\ge 1$ 时为 $1$。

当 $0\le y<1$：$F_Y(y)=P\{\sqrt[3]{X}-1\le y\}=P\{X\le (y+1{)}^3\}=F[(y+1{)}^3]=\sqrt[3]{(y+1{)}^3}-1=y$。故 $F_Y(y)$ 恰为 $[0,1]$ 上均匀分布 $U(0,1)$ 的分布函数。