2003 年考研数学（三） 第 22 题

看到「离散 $X$ + 连续 $Y$ 独立，求 $X+Y$ 的密度」→ 全概率按 $X$ 的取值分解，每支把 $Y$ 平移得 $f(u-x_k)$，权重为 $P\{X=x_k\}$。坑：先写分布函数再求导，最终是加权平移密度 ${\sum }_k{p}_{k}f(u-x_k)$。

本题考查「离散 + 连续」独立随机变量之和的分布，用全概率公式按 $X$ 的取值分解。 设 $F(y)$ 为 $Y$ 的分布函数（$F^{\prime }=f$）。

$F_U(u)=P\{X+Y\le u\}=P\{X=1\}P\{X+Y\le u\mid X=1\}+P\{X=2\}P\{X+Y\le u\mid X=2\}$。由独立性，$P\{X+Y\le u\mid X=1\}=P\{Y\le u-1\}=F(u-1)$，同理另一项为 $F(u-2)$。

故 $F_U(u)=0.3F(u-1)+0.7F(u-2)$，对 $u$ 求导得密度 $g(u)=0.3f(u-1)+0.7f(u-2)$。