2003 年考研数学（三）第 12 题

选择题 · 4 分

将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：

A_{1} = {

掷第一次出现正面

}

，

A_{2} = {

掷第二次出现正面

}

，

A_{3} = {

正、反面各出现一次

}

，

A_{4} = {

正面出现两次

}

，则事件（　　）

提示 1

列出样本空间

{H H, H T, T H, T T}

，算出

P (A_{1}) = P (A_{2}) = P (A_{3}) = \frac{1}{2}, P (A_{4}) = \frac{1}{4}

。

提示 2

检查

A_{1}, A_{2}, A_{3}

的两两交事件概率是否等于概率之积（都成立），再看三交

P (A_{1} A_{2} A_{3}) = 0

破坏相互独立。

提示 3

对

A_{2}, A_{4}

：

A_{2} A_{4} = {H H}

，

P = \frac{1}{4} \neq = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}

，说明 B、D 不成立。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

看到「相互独立 vs 两两独立」→ 两两独立只需验证所有「两两」交事件，相互独立还要额外验证「全体交」。坑：两两独立推不出相互独立（本题

A_{1} A_{2} A_{3}

概率为

0

就是反例）。

解答

本题考查「两两独立」与「相互独立」的区别。 样本空间

{H H, H T, T H, T T}

，各概率

\frac{1}{4}

。先算

P (A_{1}) = P (A_{2}) = P (A_{3}) = \frac{1}{2}, P (A_{4}) = \frac{1}{4}

。

两两验证：

P (A_{1} A_{2}) = P (A_{1} A_{3}) = P (A_{2} A_{3}) = \frac{1}{4}

，恰等于对应概率之积（如

P (A_{1}) P (A_{2}) = \frac{1}{4}

），故

A_{1}, A_{2}, A_{3}

两两独立；但

P (A_{1} A_{2} A_{3}) = 0 \neq = P (A_{1}) P (A_{2}) P (A_{3}) = \frac{1}{8}

，故不相互独立。

而

P (A_{2} A_{4}) = P ({H H}) = \frac{1}{4} \neq = P (A_{2}) P (A_{4}) = \frac{1}{8}

，故

A_{2}, A_{3}, A_{4}

连两两独立都不成立。综上选 C。

2003 年考研数学（三） 第 12 题