2001 年考研数学（三） 第 18 题

「二次型矩阵是代数余子式除以 $|A|$」→ 那正是 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$。判断两二次型规范形是否相同＝看正负惯性指数是否相同。坑：$A$ 与 $A^{-1}$ 特征值互为倒数但同号，惯性指数不变，故合同、规范形相同。

本题考查二次型的矩阵表示（借助伴随矩阵与逆矩阵）及规范形／合同判定。

（1）令 $B=\frac{1}{|A|}\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$（第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $\frac{A_{ji}}{|A|}$），则 $f={\sum }_i{\sum }_j\frac{A_{ij}}{|A|}{x}_i{x}_j=X^{\mathrm{T}}BX$。

由伴随矩阵 $A^{\ast }=(A_{ji})$ 且 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$（$r(A)=n\Rightarrow |A|\ne 0$），故 $B=A^{-1}$。又 $A^{\mathrm{T}}=A$，得 $B^{\mathrm{T}}=(A^{-1}{)}^{\mathrm{T}}=(A^{\mathrm{T}}{)}^{-1}=A^{-1}=B$，$B$ 为实对称，故 $f(X)$ 的矩阵为 $A^{-1}$。

（2）相同。因 $A$ 与 $A^{-1}$ 的特征值互为倒数，倒数不改变符号，故 $A$ 与 $A^{-1}$ 的正、负特征值个数分别相同，即二者有相同的正、负惯性指数，$A$ 与 $A^{-1}$ 合同，于是 $g(X)=X^{\mathrm{T}}AX$ 与 $f(X)=X^{\mathrm{T}}{A}^{-1}X$ 有相同的规范形。