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2001 年考研数学（三）第 19 题

解答题 · 8 分

一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重

50

千克，标准差为

5

千克。若用最大载重量为

5

吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于

0.977

。（

Φ (2) = 0.977

，其中

Φ (x)

是标准正态分布函数。）

提示 1

设装

n

箱，总重

T = \sum X_{i}

，先算

E (T) = 50 n

、

D (T) = 25 n

。

提示 2

由中心极限定理

\frac{T - 50 n}{5 n} \approx N (0, 1)

，把「不超载」写成

P {T \leq 5000}

。

提示 3

标准化后令

\frac{1000 - 10 n}{n} > 2

（用

Φ (2) = 0.977

），解不等式取整。

答案与详解

答案最多可装 $98$ 箱

思路（为什么这么做）

「许多独立同分布之和 + 概率约束求个数」→ 中心极限定理标准化，把约束化成

Φ (\cdot) > p

再查

Φ

反解。坑：

5

吨要换成

5000

千克；解出

n < 98.02

要向下取整为

98

。

解答

本题考查独立同分布中心极限定理的应用（求满足概率约束的箱数）。 设最多装

n

箱，

X_{i}

为第

i

箱重量，独立同分布，

E (X_{i}) = 50, D (X_{i}) = 25

。

总重

T = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

，则

E (T) = 50 n, D (T) = 25 n

。由列维–林德伯格中心极限定理，

\frac{T - 50 n}{5 n}

近似服从

N (0, 1)

。

不超载即

T \leq 5000

（

5

吨

= 5000

千克）：

P {T \leq 5000} = P {\frac{T - 50 n}{5 n} \leq \frac{5000 - 50 n}{5 n}} \approx Φ (\frac{1000 - 10 n}{n}) > 0.977 = Φ (2)

。

由

Φ

单调，得

\frac{1000 - 10 n}{n} > 2

，解得

n < 98.02

，故最多可装

98

箱，可保障不超载概率大于

0.977

。

考点：中心极限定理

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