2001 年考研数学（三） 第 20 题

「二维均匀求 $U=|X-Y|$ 的密度」→ 分布函数法：$F_U(u)=\frac{\text{满足}|x-y|\le u\text{的面积}}{\text{总面积}}$，再求导。坑：算面积用「$1-$ 两个角三角形」避免积分；每个角三角形直角边为 $2-u$。

本题考查二维均匀分布下随机变量函数 $U=|X-Y|$ 的分布，用分布函数法。 联合密度 $f(x,y)=\frac{1}{4}$（$(x,y)\in G$），面积 $=4$。

分布函数 $F_U(u)=P\{|X-Y|\le u\}={\iint }_{|x-y|\le u}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，即带 $|x-y|\le u$ 的区域在正方形内的面积除以 $4$。

当 $u<0$：$F_U=0$；当 $0\le u<2$：正方形内不满足 $|x-y|\le u$ 的是两个直角边长 $2-u$ 的三角形，面积 $2\cdot \frac{(2-u{)}^2}{2}=(2-u{)}^2$，故 $F_U(u)=1-\frac{(2-u{)}^2}{4}$；当 $u\ge 2$：$F_U=1$。

求导得密度 $p(u)=F_U^{\prime }(u)=\frac{2-u}{2}$（$0<u<2$），其他为 $0$。