2001 年考研数学（三） 第 17 题

「实对称矩阵正交对角化」→ 求特征值、每个求特征向量、（同特征值内施密特）单位化拼 $Q$，则 $Q^{\mathrm{T}}AQ=\Lambda$。坑：第（1）问的 $a=1$ 会让 $|A|=0$ 但方程组无解，必须回代验秩才能排除。

本题考查（1）用「有解但不唯一」确定参数（秩条件）；（2）实对称矩阵的正交相似对角化。

（1）有解但不唯一 $\Rightarrow r(A)=r(\overline{A})<3$，故 $|A|=0$。$|A|=-(a+2)(a-1{)}^2=0$ 得 $a=-2$ 或 $a=1$。当 $a=1$ 时 $r(A)=1<r(\overline{A})=2$，无解，舍去；当 $a=-2$ 时 $r(A)=r(\overline{A})=2<3$，有无穷多解。故 $a=-2$。

（2）代入 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 1& -2& 1\\ -2& 1& 1\end{array}\right)$。由 $|\lambda E-A|=(\lambda +3)\lambda (\lambda -3)=0$ 得特征值 ${\lambda }_1=-3,{\lambda }_2=0,{\lambda }_3=3$。

对应特征向量：${\lambda }_1=-3$ 取 ${\xi }_1=(1,-2,1{)}^{\mathrm{T}}$；${\lambda }_2=0$ 取 ${\xi }_2=(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$；${\lambda }_3=3$ 取 ${\xi }_3=(1,0,-1{)}^{\mathrm{T}}$。三者互相正交（实对称不同特征值特征向量必正交），单位化得 ${\gamma }_1=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,1{)}^{\mathrm{T}},{\gamma }_2=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1{)}^{\mathrm{T}},{\gamma }_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1{)}^{\mathrm{T}}$。

令 $Q=({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3)$，则 $Q$ 正交且 $Q^{\mathrm{T}}AQ=\mathrm{diag}(-3,0,3)$。