2001 年考研数学（三） 第 16 题

「先由微分方程求通项 $f_n$，再求 $\sum f_n$」→ 一阶线性方程用积分因子求出 $f_n$，识别得到的 $\sum x^n/n$ 就是 $-\ln (1-x)$。坑：初值 $f_n(1)=\mathrm{e}/n$ 用来定 $C$（恰好 $C=0$）；收敛域 $-1\le x<1$ 别漏。

本题考查一阶线性微分方程求通项 $f_n(x)$，再用 $\ln (1-x)$ 的幂级数展开求和。 先解 ODE。

改写为一阶线性方程 $f_n^{\prime }(x)-f_n(x)=x^{n-1}{\mathrm{e}}^x$，用通解公式（积分因子 ${\mathrm{e}}^{-x}$）：$f_n(x)=\left(\int x^{n-1}{\mathrm{e}}^x\cdot {\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x+C\right){\mathrm{e}}^x=\left(\frac{1}{n}{x}^n+C\right){\mathrm{e}}^x$。

由 $f_n(1)=\frac{\mathrm{e}}{n}$ 定常数：$\left(\frac{1}{n}+C\right)\mathrm{e}=\frac{\mathrm{e}}{n}\Rightarrow C=0$，故 $f_n(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{n}{x}^n$。

求和：$\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(x)={\mathrm{e}}^x\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$。利用 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}=-\ln (1-x)$（$-1\le x<1$），得 $\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(x)=-{\mathrm{e}}^x\ln (1-x)$。