2001 年考研数学（三） 第 15 题

「证 $\exists \xi ,f^{\prime }=g(\xi )f$」→ 把结论写成 ${\phi }^{\prime }(\xi )=0$ 反推辅助函数（此处 $\phi =x{\mathrm{e}}^{-x}f$），条件里的积分用积分中值定理造出两个相等的端点值，再罗尔。坑：辅助函数里的 $x{\mathrm{e}}^{-x}$ 因子要与结论中的 $1-{\xi }^{-1}$、积分核 $x{\mathrm{e}}^{1-x}$ 对上。

本题考查「构造辅助函数 + 积分中值定理 + 罗尔定理」证明存在性。 先由待证式反推辅助函数。

把待证 $f^{\prime }(\xi )=(1-{\xi }^{-1})f(\xi )$ 变形为 $f(\xi )-\xi f(\xi )+\xi f^{\prime }(\xi )=0$，联想到令 $\phi (x)=x{\mathrm{e}}^{-x}f(x)$，则 ${\phi }^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-x}[f(x)-xf(x)+x{f}^{\prime }(x)]$。

对右端积分用积分中值定理：存在 $c\in \left[0,\frac{1}{k}\right]$ 使 $f(1)=k{\int }_0^{1/k}x{\mathrm{e}}^{1-x}f(x)\mathrm{d}x=k\cdot c{\mathrm{e}}^{1-c}f(c)\cdot \frac{1}{k}=c{\mathrm{e}}^{1-c}f(c)$。

于是 $1\cdot {\mathrm{e}}^{-1}f(1)=c{\mathrm{e}}^{-c}f(c)$，即 $\phi (1)=\phi (c)$。因 $\phi$ 在 $[c,1]$ 连续、$(c,1)$ 可导，由罗尔定理存在 $\xi \in (c,1)\subset (0,1)$ 使 ${\phi }^{\prime }(\xi )=0$。

由 ${\mathrm{e}}^{-\xi }\ne 0$ 得 $f(\xi )-\xi f(\xi )+\xi f^{\prime }(\xi )=0$，即 $f^{\prime }(\xi )=(1-{\xi }^{-1})f(\xi )$，得证。