2001 年考研数学（三） 第 14 题

「带约束（相切）求面积最大」→ 先用相切条件（判别式为零）把两参数化为一元函数，再求导取最值。坑：面积上限 $-q/p$ 别写错符号（$p<0$ 保证 $-q/p>0$）；相切用 $\Delta =0$ 而非代点。

本题考查定积分求面积＋相切条件（判别式为零）＋一元函数求最值。 先写 $S$，再用相切条件消去一个参数。

抛物线与 $x$ 轴交点横坐标为 $x=0$ 与 $x=-\frac{q}{p}$，围成面积 $S={\int }_0^{-q/p}(p{x}^2+qx)\mathrm{d}x=\frac{q^3}{6p^2}$。

相切条件：联立 $x+y=5$ 与 $y=p{x}^2+qx$ 得 $p{x}^2+(1+q)x-5=0$，相切要求判别式 $\Delta =(1+q{)}^2+20p=0$，即 $p=-\frac{1}{20}(1+q{)}^2$。

代入得 $S=\frac{200q^3}{3(1+q{)}^4}$。求导 $S^{\prime }=\frac{200q^2(3-q)}{3(1+q{)}^5}=0$ 得 $q=3$；且 $0<q<3$ 时 $S^{\prime }>0$、$q>3$ 时 $S^{\prime }<0$，故 $q=3$ 取最大。

此时 $p=-\frac{1}{20}(1+3{)}^2=-\frac{4}{5}$，最大面积 $S_{\max }=\frac{200\cdot 27}{3\cdot 4^4}=\frac{225}{32}$。