2001 年考研数学（三） 第 13 题

「被积函数含 ${\mathrm{e}}^{x^2+y^2}$ 这种积不出来的因子」→ 找对称性让奇函数部分整块为 $0$。坑：要先判 $D$ 关于哪条轴对称，再看被积函数对相应变量的奇偶性；本题难算的指数项恰好因奇性消掉。

本题考查二重积分＋利用区域对称性与被积函数奇偶性简化。 先把积分拆成两部分：${\iint }_{D}y\mathrm{d}x\mathrm{d}y+{\iint }_{D}xy{\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

把 $D$ 按直线 $y=-x$ 分成关于 $x$ 轴上下对称的两块 $D_1$（$0\le x\le 1,-x\le y\le x$）与 $D_2$（$y\le x\le -y,-1\le y\le 0$），它们关于 $x$ 轴对称。被积函数 $xy{\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}(x^2+y^2)}$ 关于 $y$ 为奇函数，故 ${\iint }_{D}xy{\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$。

剩下 ${\iint }_{D}y\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{-1}^1\mathrm{d}x{\int }_{-1}^{x}y\mathrm{d}y={\int }_{-1}^1\frac{x^2-1}{2}\mathrm{d}x={\int }_0^1(x^2-1)\mathrm{d}x=-\frac{2}{3}$。

故所求积分 $=0+\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{2}{3}$。