2001 年考研数学（三） 第 12 题

「${\left(\frac{x+c}{x-c}\right)}^x$ 型极限 ＝ 含 $f(x)-f(x-1)$ 的极限」→ 左边按 $1^{\infty }$ 凑 ${\mathrm{e}}^{2c}$，右边对函数差用拉格朗日中值定理转成 $\lim f^{\prime }$。坑：中值点 $\xi$ 随 $x\to \infty$，才能用已知的 $\lim f^{\prime }(x)$。

本题考查 $1^{\infty }$ 型重要极限＋拉格朗日中值定理。 两边分别求极限再令其相等。

左边 $1^{\infty }$ 型：${\left(\frac{x+c}{x-c}\right)}^x={\left(1+\frac{2c}{x-c}\right)}^x={\left[{\left(1+\frac{2c}{x-c}\right)}^{\frac{x-c}{2c}}\right]}^{\frac{2cx}{x-c}}\to {\mathrm{e}}^{2c}$。

右边用拉格朗日中值定理：$f(x)-f(x-1)=f^{\prime }(\xi )(x-1<\xi <x)$。当 $x\to \infty$ 时 $\xi \to \infty$，由 $\underset{x\to \infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=\mathrm{e}$ 得 $\underset{x\to \infty }{\lim }{f}^{\prime }(\xi )=\mathrm{e}$。

令两边相等 ${\mathrm{e}}^{2c}=\mathrm{e}$，得 $2c=1$，故 $c=\frac{1}{2}$。