2001 年考研数学（三） 第 11 题

「$u=f(x,y,z)$ 且 $y,z$ 各由隐式定」→ 先写全导数链式，再逐个隐函数求导代回。坑：第二式含变上限积分，上限是 $x-z$，求导要乘 $(1-z^{\prime })$，别漏内层导数。

本题考查多元复合函数求导（全导数）＋两个隐函数求导。 先写出链式法则骨架，再分别求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$。

全导数：$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$。

对 ${\mathrm{e}}^{xy}-xy=2$ 关于 $x$ 求导：${\mathrm{e}}^{xy}\left(y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)-\left(y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=0$，因 ${\mathrm{e}}^{xy}\ne 1$ 得 $y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$，即 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{y}{x}$。

对 ${\mathrm{e}}^x={\int }_0^{x-z}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$ 关于 $x$ 求导（变限积分求导）：${\mathrm{e}}^x=\frac{\sin (x-z)}{x-z}\left(1-\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}\right)$，解得 $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=1-\frac{(x-z){\mathrm{e}}^x}{\sin (x-z)}$。

代回全导数：$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{y}{x}\frac{\partial f}{\partial y}+\left[1-\frac{(x-z){\mathrm{e}}^x}{\sin (x-z)}\right]\frac{\partial f}{\partial z}$。