2001 年考研数学（三） 第 10 题

看到「两个变量之和是常数」→ 二者是斜率 $-1$ 的线性关系，$\rho =-1$。坑：不必去算二项分布方差，$Y=n-X$ 一步定完全负相关。

本题考查相关系数的定义与「完全线性相关 $\Rightarrow \rho =\pm 1$」。 关键观察：正面数与反面数之和恒为 $n$。

由 $X+Y=n$ 得 $Y=-X+n$，是 $X$ 的线性函数（斜率 $-1<0$）。故 $\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{Cov}(X,-X+n)=-D(X)$，而 $D(Y)=D(-X+n)=D(X)$。

${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}=\frac{-D(X)}{D(X)}=-1$。（即 $Y=-X+n$ 概率为 $1$，负向完全相关。）选 A。