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2001 年考研数学（三）第 9 题

选择题 · 3 分

设

A

是

n

阶矩阵，

α

是

n

维列向量。若

r (A α^{T} α 0) = r (A)

，则线性方程组（　　）

A $A X = α$ 必有无穷多解
B $A X = α$ 必有唯一解
C $(A α^{T} α 0) (X y) = 0$ 仅有零解
D $(A α^{T} α 0) (X y) = 0$ 必有非零解

提示 1

分块矩阵

M

是

(n + 1)

阶，对应齐次组有

n + 1

个未知量。

提示 2

由

r (M) = r (A) \leq n

得

r (M) < n + 1

（秩小于未知量个数）。

提示 3

秩

<

未知量个数

\Rightarrow

齐次方程组有非零解。

答案与详解

答案 D

思路（为什么这么做）

「已知系数矩阵秩，问齐次组解」→ 只需比较秩

r

与未知量个数

m

：

r < m

就有非零解。坑：本题分块阵是

n + 1

阶而秩

\leq n

，差一即够；而非齐次

A X = α

的解数本条件定不了，别误选 A/B。

解答

本题考查「齐次方程组有非零解 $⟺$ 系数矩阵秩 $<$ 未知量个数」。 分块矩阵是

(n + 1)

阶，未知量个数为

n + 1

。

记分块矩阵为

M = (A α^{T} α 0)

。由

r (A) \leq n

，条件给出

r (M) = r (A) \leq n < n + 1

。

M

是

(n + 1)

阶方阵，

r (M) < n + 1

，故齐次方程组

M (X y) = 0

必有非零解，选 D。（选项 A、B 关于

A X = α

的解数无法由该条件确定。）

考点：线性方程组解的判定、齐次线性方程组与基础解系

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