2001 年考研数学（三） 第 8 题

「$B$ 由 $A$ 做行/列置换得到，求 $B^{-1}$」→ 列变换＝右乘、行变换＝左乘初等矩阵；求逆反转顺序，对换阵自逆。坑：$B=A{P}_2{P}_1$ 求逆后 $P$ 跑到左边变 $P_1{P}_2{A}^{-1}$，别忘反转顺序。

本题考查初等矩阵与初等变换：右乘初等矩阵作用于列。 $B$ 是把 $A$ 的四列倒序（$1\leftrightarrow 4$、$2\leftrightarrow 3$）得到的。

$P_1$ 交换第 $1,4$ 列，$P_2$ 交换第 $2,3$ 列，故 $B=A{P}_2{P}_1$（两置换互不相交可交换次序）。

于是 $B^{-1}=(A{P}_2{P}_1{)}^{-1}=P_1^{-1}{P}_2^{-1}{A}^{-1}$。而 $P_1,P_2$ 为对换阵，$P_1^{-1}=P_1,P_2^{-1}=P_2$，得 $B^{-1}=P_1{P}_2{A}^{-1}$，选 C。