2001 年考研数学（三） 第 7 题

「分段函数的变上限积分是否连续」→ 变上限积分把间断「抹平」，只要 $f$ 可积 $g$ 必连续。坑：$f$ 在 $x=1$ 有跳跃不影响 $g$ 连续；分段算 $g$ 时第二段要接上第一段的积分值。

本题考查变上限积分的性质：被积函数只要可积，其变上限积分必连续。 分段算出 $g(x)$ 即可。

当 $0\le x<1$：$g(x)={\int }_0^x\frac{1}{2}(u^2+1)\mathrm{d}u=\frac{x^3}{6}+\frac{x}{2}$；当 $1\le x\le 2$：$g(x)=\frac{2}{3}+{\int }_1^x\frac{1}{3}(u-1)\mathrm{d}u=\frac{2}{3}+\frac{(x-1{)}^2}{6}$。

两段在 $x=1$ 处都等于 $\frac{2}{3}$，衔接无跳跃，故 $g(x)$ 在 $(0,2)$ 内连续。$f$ 有界正值使 $g$ 递增且有界，排除 A、B、C，选 D。