2001 年考研数学（三） 第 6 题

看到「$\lim \frac{f^{\prime }(x)}{x-a}$ 已知符号」→ 用保号性得 $f^{\prime }$ 在 $a$ 两侧的符号，再套极值第一充分条件。坑：分母 $x-a$ 左负右正会把 $f^{\prime }$ 的符号翻过来，结论是极大不是极小。

本题考查用极限保号性推出 $f^{\prime }$ 的符号，再用极值第一充分条件判别。 极限值 $-1<0$ 是突破口。

由 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{x-a}=-1<0$，据保号性存在 $\delta >0$，当 $0<|x-a|<\delta$ 时 $\frac{f^{\prime }(x)}{x-a}<0$。（顺带 $f^{\prime }(a)=0$。）

于是 $x\in (a-\delta ,a)$ 时 $x-a<0$ 故 $f^{\prime }(x)>0$；$x\in (a,a+\delta )$ 时 $x-a>0$ 故 $f^{\prime }(x)<0$。$f^{\prime }$ 由正变负，$x=a$ 为极大值点，选 B。