2001 年考研数学（三） 第 5 题

「正态样本平方和之比」→ 先除以 ${\sigma }^2$ 凑 ${\chi }^2$，再按 $F=\frac{{\chi }_m^2/m}{{\chi }_n^2/n}$ 配自由度。坑：$Y$ 分母那个系数 $2$ 不是随便的，正是自由度比 $10/5$，配平后才得标准 $F(10,5)$。

本题考查由正态样本构造 ${\chi }^2$ 与 $F$ 分布。 关键是把每个 $X_i$ 标准化为 $N(0,1)$，凑出两个独立的 ${\chi }^2$。

由 $X_i\sim N(0,4)$ 得 $\frac{X_i}{2}\sim N(0,1)$，于是 $\frac{1}{4}{\sum }_{i=1}^{10}{X}_i^2\sim {\chi }^2(10)$，$\frac{1}{4}{\sum }_{i=11}^{15}{X}_i^2\sim {\chi }^2(5)$，且两者独立。

由 $F$ 分布定义 $\frac{{\chi }^2(10)/10}{{\chi }^2(5)/5}\sim F(10,5)$，化简正好等于 $Y=\frac{X_1^2+\cdots +X_{10}^2}{2(X_{11}^2+\cdots +X_{15}^2)}$，故 $Y\sim F(10,5)$。