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2001 年考研数学（三）第 4 题

填空题 · 3 分

设随机变量

X

和

Y

的数学期望分别为

- 2

和

2

，方差分别为

1

和

4

，而相关系数为

- 0.5

，则根据切比雪夫不等式

P {∣ X + Y ∣ \geq 6} \leq

______。

提示 1

切比雪夫要用到

E (X + Y)

与

D (X + Y)

，先分别算这两个量。

提示 2

D (X + Y) = D (X) + D (Y) + 2 Cov (X, Y)

，而

Cov = ρ_{X Y} D (X) D (Y)

。

提示 3

代入

P {∣ (X + Y) - E (X + Y) ∣ \geq 6} \leq D (X + Y) / 6^{2}

。

答案与详解

答案 $\frac{1}{12}$

思路（为什么这么做）

看到「相关系数 + 切比雪夫估

P {∣ X + Y ∣ \geq ε}

」→ 先用

Cov = ρ D_{X} D_{Y}

求出

D (X + Y)

，再套

D / ε^{2}

。坑：

ρ < 0

使方差减小，别把

2 Cov

的符号弄错。

解答

本题考查切比雪夫不等式，先算出 $X + Y$ 的期望与方差。 由

E (X) = - 2, E (Y) = 2

得

E (X + Y) = 0

。

方差用相关系数展开：

D (X + Y) = D (X) + D (Y) + 2 ρ_{X Y} D (X) D (Y) = 1 + 4 + 2 (- 0.5) \cdot 1 \cdot 2 = 3

。

因

E (X + Y) = 0

，

P {∣ X + Y ∣ \geq 6} = P {∣ (X + Y) - E (X + Y) ∣ \geq 6} \leq \frac{D ( X + Y )}{6 ^{2}} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}

。

考点：切比雪夫不等式、协方差与相关系数

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