2001 年考研数学（三） 第 3 题

「行列式=0 有多个根，要定秩」→ 求出 $|A|$ 的全部零点后必须逐个回代验秩。坑：$k=1$ 虽让 $|A|=0$ 但秩降到 $1$，不满足 $r=3$，只有 $k=-3$。

本题考查行列式计算与秩的关系。 $r(A)=3<4$ 意味着 $|A|=0$，先由行列式定 $k$ 的候选值，再逐一验证秩。

各行元素之和相同，行加到第一行提公因子并化简得 $|A|=(k+3)(k-1{)}^3$。令 $|A|=0$ 得 $k=-3$ 或 $k=1$。

当 $k=1$ 时各行全相同，$r(A)=1\ne 3$，舍去；当 $k=-3$ 时可验证 $r(A)=3$。故 $k=-3$。