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1998 年考研数学（三）第 8 题

选择题 · 3 分

齐次线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ λ x_{1} + x_{2} + λ^{2} x_{3} = 0 x_{1} + λ x_{2} + x_{3} = 0 x_{1} + x_{2} + λ x_{3} = 0

的系数矩阵记为

A

。若存在

3

阶矩阵

B \neq = O

，使得

A B = O

，则（　　）

A $λ = - 2$ 且 $∣ B ∣ = 0$
B $λ = - 2$ 且 $∣ B ∣ \neq = 0$
C $λ = 1$ 且 $∣ B ∣ = 0$
D $λ = 1$ 且 $∣ B ∣ \neq = 0$

提示 1

由

A B = O

用秩不等式

r (A) + r (B) \leq 3

。

提示 2

B \neq = O \Rightarrow r (A) < 3 \Rightarrow ∣ A ∣ = 0

，定出

λ

。

提示 3

再由

A \neq = O

得

r (B) \leq 2

，故

∣ B ∣ = 0

。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

A B = O

且

B \neq = O

→ 立刻用

r (A) + r (B) \leq n

。坑：

∣ B ∣

是否为零要再用

r (A) \geq 1

（因

A \neq = O

）挤出

r (B) \leq 2

。

解答

本题考查秩不等式 $r (A) + r (B) \leq n$ （由 $A B = O$ ）及行列式为零定参数。

由

A B = O

得

r (A) + r (B) \leq 3

。又

B \neq = O

故

r (B) \geq 1

，从而

r (A) < 3

，

∣ A ∣ = 0

。

∣ A ∣ = λ 11 1 λ 1 λ^{2} 1 λ = (λ - 1)^{2} = 0

，得

λ = 1

。

又

A \neq = O

故

r (A) \geq 1

，于是

r (B) \leq 2 < 3

，

∣ B ∣ = 0

。选 C。

考点：矩阵的秩、齐次线性方程组与基础解系、行列式的计算

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