1998 年考研数学（三） 第 7 题

含 ${\lim }_{n\to \infty }{x}^{2n}$ 定义的函数 → 用 $x^{2n}$ 三段极限分段化简，再逐点验连续。坑：$|x|=1$ 两点要单独代入，$x=1$ 处 $f=1$ 但左极限 $=2$ 故间断，$x=-1$ 处反而连续。

本题考查用 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^{2n}$ 分段定出 $f(x)$ 再判间断点。 $x^{2n}\to 0(|x|<1),\to +\infty (|x|>1),=1(|x|=1)$。

故 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1+x,& |x|<1\\ 0,& |x|>1\\ 1,& x=1\\ 0,& x=-1\end{array}$（$x=1$ 时 $\frac{1+1}{1+1}=1$，$x=-1$ 时 $\frac{0}{2}=0$）。

在 $x=1$：左极限 $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(1+x)=2\ne f(1)=1$，间断；在 $x=-1$：两侧极限与 $f(-1)$ 均为 $0$，连续。故仅 $x=1$ 为间断点，选 B。