1998 年考研数学（三） 第 6 题

给「某点邻域差商极限」求切线斜率 → 凑成导数定义解出该点导数；周期函数记住 $f^{\prime }$ 与 $f$ 同周期。坑：注意分子符号与系数 $\frac{1}{2x}$，别把 $f^{\prime }(1)$ 的正负算错。

本题考查导数的定义与周期函数导数的周期性。 由极限式反推 $f^{\prime }(1)$，再用 $f^{\prime }(x+4)=f^{\prime }(x)$。

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(1)-f(1-x)}{2x}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(1-x)-f(1)}{-x}=\frac{1}{2}{f}^{\prime }(1)=-1$，故 $f^{\prime }(1)=-2$。

周期为 $4$ 的可导函数其导数也以 $4$ 为周期，故 $f^{\prime }(5)=f^{\prime }(1)=-2$，即切线斜率为 $-2$，选 D。