1998 年考研数学（三）第 5 题

填空题 · 3 分

设

X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}

是来自正态总体

N (0, 2^{2})

的简单随机样本，

X = a (X_{1} - 2 X_{2})^{2} + b (3 X_{3} - 4 X_{4})^{2}

，其中

a, b \neq = 0

。则当

a =

______，

b =

______ 时，统计量

X

服从

χ^{2}

分布，其自由度为 ______。

提示 1

求

X_{1} - 2 X_{2}

、

3 X_{3} - 4 X_{4}

的方差（利用独立性，系数要平方）。

提示 2

把每个正态量标准化为

N (0, 1)

再平方。

提示 3

相互独立的

N (0, 1)

平方和的项数即自由度。

答案与详解

答案 $a = \frac{1}{20}, b = \frac{1}{100}$ ，自由度为 $2$

思路（为什么这么做）

构造

χ^{2}

：先把线性组合标准化成

N (0, 1)

再平方求和。坑：

Var (X_{1} - 2 X_{2}) = Var X_{1} + 4 Var X_{2}

（系数平方），

σ^{2} = 4

别漏；自由度 = 独立标准正态平方的个数。

解答

本题考查 $χ^{2}$ 分布的构造： $k$ 个相互独立的 $N (0, 1)$ 的平方和 $\sim χ^{2} (k)$ 。 关键是把正态线性组合标准化。

X_{i} \sim N (0, 4)

且相互独立，故

X_{1} - 2 X_{2} \sim N (0, 4 + 2^{2} \cdot 4) = N (0, 20)

，

3 X_{3} - 4 X_{4} \sim N (0, 3^{2} \cdot 4 + 4^{2} \cdot 4) = N (0, 100)

。

于是

\frac{X _{1} - 2 X _{2}}{20} \sim N (0, 1)

，

\frac{3 X _{3} - 4 X _{4}}{10} \sim N (0, 1)

且相互独立，故

\frac{1}{20} (X_{1} - 2 X_{2})^{2} + \frac{1}{100} (3 X_{3} - 4 X_{4})^{2} \sim χ^{2} (2)

。

对照得

a = \frac{1}{20}, b = \frac{1}{100}

，自由度为

2

。

1998 年考研数学（三） 第 5 题