1998 年考研数学（三） 第 4 题

含 ${\mathbf{A}}^{\ast }$ 的矩阵方程 → 左乘 $\mathbf{A}$ 用 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }=|\mathbf{A}|\mathbf{E}$ 消去伴随。坑：$\mathbf{A}$ 为对角阵时 $\mathbf{E}+\mathbf{A}$ 仍对角，求逆即取倒数。

本题考查伴随矩阵性质 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }=|\mathbf{A}|\mathbf{E}$。 $|\mathbf{A}|=1\cdot (-2)\cdot 1=-2$。

两边左乘 $\mathbf{A}$：$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{B}\mathbf{A}=2\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{A}-8\mathbf{A}$，即 $-2\mathbf{B}\mathbf{A}=2\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{A}-8\mathbf{A}$。

两边右乘 ${\mathbf{A}}^{-1}$（$\mathbf{A}$ 可逆）：$-2\mathbf{B}=2\mathbf{A}\mathbf{B}-8\mathbf{E}$，即 $(\mathbf{E}+\mathbf{A})\mathbf{B}=4\mathbf{E}$。

故 $\mathbf{B}=4(\mathbf{E}+\mathbf{A}{)}^{-1}=4[\mathrm{diag}(2,-1,2){]}^{-1}=\mathrm{diag}(2,-4,2)$。