1998 年考研数学（三） 第 3 题

一阶常系数线性差分方程 → 通解 = 齐次 $C\cdot (\text{根}{)}^t$ + 待定多项式特解。坑：先把 $y_{t+1}$ 系数化为 1；自由项为 $k$ 次多项式则特解也设 $k$ 次多项式。

本题考查一阶常系数线性差分方程：通解 = 齐次通解 + 特解。 先把 $y_{t+1}$ 的系数化为 $1$。

化为 $y_{t+1}+5y_t=\frac{5}{2}t$。齐次方程 $y_{t+1}+5y_t=0$ 的通解为 $y_t=C(-5{)}^t$。

自由项为一次多项式，设特解 $y^{\ast }=at+b$，代入得 $6a=\frac{5}{2},a+6b=0$，故 $a=\frac{5}{12},b=-\frac{5}{72}$，即 $y^{\ast }=\frac{5}{12}\left(t-\frac{1}{6}\right)$。

故通解 $y_t=C(-5{)}^t+\frac{5}{12}\left(t-\frac{1}{6}\right)$（$C$ 为任意常数）。