乐思数学通 › 考研数学（三） › 真题检索 › 1998 年

1998 年考研数学（三）第 2 题

填空题 · 3 分

\int \frac{ln x - 1}{x ^{2}} d x =

______。

提示 1

注意

\frac{1}{x ^{2}} d x = - d (\frac{1}{x})

，用分部积分。

提示 2

分部后出现

\int \frac{1}{x ^{2}} d x = - \frac{1}{x}

。

提示 3

合并

- \frac{l n x - 1}{x} - \frac{1}{x}

化简为

- \frac{l n x}{x}

。

答案与详解

答案 $- \frac{ln x}{x} + C$

思路（为什么这么做）

被积含

\frac{1}{x ^{2}}

与

ln x

→ 令

\frac{1}{x ^{2}} d x = - d (\frac{1}{x})

做分部。坑：结果里

- \frac{1}{x}

与

+ \frac{1}{x}

相消，最终是简洁的

- \frac{l n x}{x}

。

解答

本题考查不定积分（凑微分 + 分部积分）。 注意

\frac{1}{x ^{2}} d x = - d (\frac{1}{x})

，把

ln x - 1

作为另一因子。

\int \frac{ln x - 1}{x ^{2}} d x = - \int (ln x - 1) d (\frac{1}{x}) = - \frac{ln x - 1}{x} + \int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x = - \frac{ln x - 1}{x} - \frac{1}{x} = - \frac{ln x}{x} + C

。

考点：换元积分法与分部积分法、不定积分的概念与性质

← 1998 年全部题目