1998 年考研数学（三） 第 1 题

看到「切线交点 ${\xi }_n$ 再取 $n$ 次幂/求极限」→ 先把 ${\xi }_n$ 写成 $1-\frac{1}{n}$，再套 $(1\pm \frac{1}{n}{)}^n\to {\mathrm{e}}^{\pm 1}$。坑：所求是 $f({\xi }_n)={\xi }_n^n$ 而非 ${\xi }_n$。

本题考查导数的几何意义（切线）与重要极限 ${\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n\to {\mathrm{e}}^{-1}$。 先写出切线，求出与 $x$ 轴的交点 ${\xi }_n$，注意所求是 $f({\xi }_n)={\xi }_n^n$。

$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$，故 $f^{\prime }(1)=n$，在 $(1,1)$ 处切线为 $y-1=n(x-1)$。令 $y=0$ 得 ${\xi }_n=1-\frac{1}{n}$。

于是 $f({\xi }_n)={\xi }_n^n={\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n={\mathrm{e}}^{-1}$。