1998 年考研数学（三） 第 9 题

「对角 $1$、其余全 $a$」型矩阵 → 各行和相等，$|\mathbf{A}|=[(n-1)a+1](1-a{)}^{n-1}$。坑：秩恰为 $n-1$ 只能由因子 $(n-1)a+1=0$ 提供（$a=1$ 会让秩掉到 $1$）。

本题考查「各行元素之和相等」型特殊行列式的计算及其与秩的关系。 把各列都加到第一列可提取公因子。

$|\mathbf{A}|=[(n-1)a+1](1-a{)}^{n-1}$。

$r(\mathbf{A})=n-1<n$ 要求 $|\mathbf{A}|=0$，得 $a=1$ 或 $a=\frac{1}{1-n}$。

当 $a=1$ 时矩阵所有元素为 $1$，$r(\mathbf{A})=1\ne n-1(n\ge 3)$；故必有 $a=\frac{1}{1-n}$，选 B。