1998 年考研数学（三）第 10 题

选择题 · 3 分

设

F_{1} (x)

与

F_{2} (x)

分别为随机变量

X_{1}

与

X_{2}

的分布函数。为使

F (x) = a F_{1} (x) - b F_{2} (x)

是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（　　）

提示 1

分布函数必满足

F (+ \infty) = 1

。

提示 2

由此得约束

a - b = 1

。

提示 3

逐一代入四组数值，只有 (A) 满足。

答案与详解

答案 A

思路（为什么这么做）

判断

a F_{1} - b F_{2}

是否为分布函数 → 先用

F (+ \infty) = 1

得

a - b = 1

筛选，再验单调非负。坑：

F (- \infty) = 0

自动满足，主约束是

a - b = 1

。

解答

本题考查分布函数的规范性： $F (+ \infty) = 1$ ， $F (- \infty) = 0$ 。

由

F_{1} (+ \infty) = F_{2} (+ \infty) = 1

，要使

F (+ \infty) = a \cdot 1 - b \cdot 1 = a - b = 1

。

四组中只有 (A) 满足

a - b = \frac{3}{5} - (- \frac{2}{5}) = 1

（且相应地

F

单调不减、非负），选 A。

1998 年考研数学（三） 第 10 题