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1998 年考研数学（三）第 11 题

解答题 · 5 分

设

z = (x^{2} + y^{2}) e^{- a r c t a n \frac{y}{x}}

，求

d z

与

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}

。

提示 1

先记住

\frac{\partial}{\partial x} arctan \frac{y}{x} = \frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}

，

\frac{\partial}{\partial y} arctan \frac{y}{x} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}

。

提示 2

乘积求导得

z_{x} = (2 x + y) e^{- a r c t a n \frac{y}{x}}

，

z_{y} = (2 y - x) e^{- a r c t a n \frac{y}{x}}

。

提示 3

对

z_{x}

再关于

y

求导得混合偏导。

答案与详解

答案 $d z = e^{- a r c t a n \frac{y}{x}} [(2 x + y) d x + (2 y - x) d y]$ ； $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{y ^{2} - x y - x ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} e^{- a r c t a n \frac{y}{x}}$

思路（为什么这么做）

含

arctan \frac{y}{x}

的乘积函数求

d z

、二阶偏导 → 先单独求

arctan \frac{y}{x}

的偏导。坑：

\frac{1}{1 + ( y / x ) ^{2}} = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}}

还要乘内层导数，

- y / x^{2}

的负号别丢。

解答

本题考查多元函数一阶偏导、全微分与二阶混合偏导。 关键是

\frac{\partial}{\partial x} arctan \frac{y}{x} = \frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}

，

\frac{\partial}{\partial y} arctan \frac{y}{x} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}

。

\frac{\partial z}{\partial x} = 2 x e^{- a r c t a n \frac{y}{x}} - (x^{2} + y^{2}) e^{- a r c t a n \frac{y}{x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{y ^{2}}{x ^{2}}} \cdot (- \frac{y}{x ^{2}}) = (2 x + y) e^{- a r c t a n \frac{y}{x}}

。

\frac{\partial z}{\partial y} = 2 y e^{- a r c t a n \frac{y}{x}} - (x^{2} + y^{2}) e^{- a r c t a n \frac{y}{x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{y ^{2}}{x ^{2}}} \cdot \frac{1}{x} = (2 y - x) e^{- a r c t a n \frac{y}{x}}

。故

d z = e^{- a r c t a n \frac{y}{x}} [(2 x + y) d x + (2 y - x) d y]

。

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} [(2 x + y) e^{- a r c t a n \frac{y}{x}}] = e^{- a r c t a n \frac{y}{x}} + (2 x + y) e^{- a r c t a n \frac{y}{x}} (- \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}) = \frac{y ^{2} - x y - x ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} e^{- a r c t a n \frac{y}{x}}

。

考点：全微分、偏导数

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