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1998 年考研数学（三） 第 12 题
解答题 · 5 分
设
D={(x,y)∣x2+y2≤x}，求
∬Dxdxdy。
提示 1
区域即圆 (x−21)2+y2≤41，极坐标边界为 r=cosθ。提示 2
θ 从 −2π 到 2π，r 从 0 到 cosθ；被积为 rcosθ⋅r。提示 3
先对 r 积分得 52cos5/2θ，乘 cosθ 得 52cos3θ，再用点火公式。答案与详解
答案 158
思路（为什么这么做）
圆盘
x2+y2≤x 上积分 → 极坐标
r=cosθ, θ∈[−2π,2π]。坑：
x=rcosθ 与雅可比
r 合并成
r3/2cosθ；
∫0π/2cos3θdθ=32（点火公式）。
解答
本题考查二重积分的极坐标计算。 区域
x2+y2≤x 是以
(21,0) 为心、
21 为半径的圆盘，极坐标下边界为
r=cosθ。
令
x=rcosθ,y=rsinθ，则
−2π≤θ≤2π, 0≤r≤cosθ，
x=rcosθ，
dxdy=rdrdθ。
∬Dxdxdy=∫−π/2π/2cosθdθ∫0cosθr3/2dr=52∫−π/2π/2cos3θdθ=54∫0π/2cos3θdθ=54⋅32=158。
考点：二重积分的计算（极坐标、对称性、反常二重积分）、二重积分的概念与性质
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