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1998 年考研数学（三） 第 17 题
解答题 · 9 分
设向量 ， 都是非零向量，且满足条件 。记 阶矩阵 。求：（1）；（2）矩阵 的特征值和特征向量。
提示 1
利用 （标量），用结合律算 。提示 2
由 及 得 ，特征值全为 。提示 3
的特征向量即 的解，写出 个基础解系。答案与详解
答案 （1）；（2）特征值 ，属于 的全部特征向量为 （ 不全为零），其中 是 的基础解系
思路（为什么这么做）
（秩 ）→ 用 （即迹，标量）化简 ；此处迹为 故 、特征值全 。坑： 特征向量来自单个方程 ，有 个自由解。
解答
本题考查秩 矩阵 的幂与特征值。 关键 （是一个数）。
（1）。
（2）设 ，则 ，故 ，即 。
属于 的特征向量即 的非零解；因 ，等价于 （一个方程）。设 ，基础解系 ，全部特征向量为 （ 不全为零）。
（1）。
（2）设 ，则 ，故 ，即 。
属于 的特征向量即 的非零解；因 ，等价于 （一个方程）。设 ，基础解系 ，全部特征向量为 （ 不全为零）。