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1998 年考研数学（三）第 16 题

解答题 · 7 分

设函数

f (x)

在

[1, + \infty)

上连续。若由曲线

y = f (x)

，直线

x = 1, x = t (t > 1)

与

x

轴所围成的平面图形绕

x

轴旋转一周所成的旋转体体积为

V (t) = \frac{π}{3} [t^{2} f (t) - f (1)]

。试求

y = f (x)

所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件

y_{x = 2} = \frac{2}{9}

的解。

提示 1

旋转体体积

V (t) = π \int_{1}^{t} f^{2} d x

，与题给表达式相等后两边对

t

求导。

提示 2

得微分方程

x^{2} y^{'} + 2 x y = 3 y^{2}

，是齐次方程，令

u = y / x

。

提示 3

分离变量积分得

\frac{u - 1}{u} = C_{2} x^{3}

，代入初值定

C_{2} = - 1

。

答案与详解

答案微分方程 $x^{2} y^{'} + 2 x y = 3 y^{2}$ ；满足 $y ∣_{x = 2} = \frac{2}{9}$ 的解为 $y - x = - x^{3} y$

思路（为什么这么做）

由旋转体体积等式反求

f

满足的方程 → 写

V = π \int_{1}^{t} f^{2}

，两边求导消去积分号。坑：所得

x^{2} y^{'} + 2 x y = 3 y^{2}

是齐次方程（右端

3 (y / x)^{2}

），令

u = y / x

分离变量；别忘代初值定常数。

解答

本题考查旋转体体积公式、变上限积分求导与一阶齐次微分方程求解。 旋转体体积

V (t) = π \int_{1}^{t} f^{2} (x) d x

。

由题设

\frac{π}{3} [t^{2} f (t) - f (1)] = π \int_{1}^{t} f^{2} (x) d x

，即

t^{2} f (t) - f (1) = 3 \int_{1}^{t} f^{2} d x

。两边对

t

求导得

2 t f (t) + t^{2} f^{'} (t) = 3 f^{2} (t)

。

即

y = f (x)

满足

x^{2} y^{'} + 2 x y = 3 y^{2}

。化为

y^{'} = - 2 \frac{y}{x} + 3 (\frac{y}{x})^{2}

，令

u = \frac{y}{x}

（齐次方程）得

u + x u^{'} = - 2 u + 3 u^{2}

，即

\frac{d u}{u ( u - 1 )} = 3 \frac{d x}{x}

。

积分得

ln \frac{u - 1}{u} = ln x^{3} + C_{1}

，即

\frac{u - 1}{u} = C_{2} x^{3}

，还原

u = \frac{y}{x}

得通解

y - x = C_{2} x^{3} y

。代入

y ∣_{x = 2} = \frac{2}{9}

：

\frac{2}{9} - 2 = C_{2} \cdot 8 \cdot \frac{2}{9} \Rightarrow C_{2} = - 1

，故所求解为

y - x = - x^{3} y

。

考点：一阶微分方程（可分离、齐次、一阶线性）、定积分几何应用（面积、旋转体体积、平均值）、微积分基本定理与变限积分

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