1998 年考研数学（三）第 15 题

解答题 · 6 分

设有两条抛物线

y = n x^{2} + \frac{1}{n}

和

y = (n + 1) x^{2} + \frac{1}{n + 1}

，记它们交点的横坐标的绝对值为

a_{n}

。（1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积

S_{n}

；（2）求级数

n = 1 \sum \infty \frac{S _{n}}{a _{n}}

的和。

提示 1

联立两抛物线求交点横坐标

a_{n} = \frac{1}{n ( n + 1 )}

。

提示 2

上减下并利用对称性

S_{n} = 2 \int_{0}^{a_{n}} (\frac{1}{n ( n + 1 )} - x^{2}) d x

。

提示 3

化简得

\frac{S _{n}}{a _{n}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{n ( n + 1 )}

，裂项求和

\sum \frac{1}{n ( n + 1 )} = 1

。

答案与详解

答案 $S_{n} = \frac{4}{3 [ n ( n + 1 ) ] ^{3/2}}$ ； $n = 1 \sum \infty \frac{S _{n}}{a _{n}} = \frac{4}{3}$

思路（为什么这么做）

两抛物线围面积再求级数和 → 面积用对称性

2 \int_{0}^{a_{n}} (上 - 下)

，被积

\frac{1}{n ( n + 1 )} - x^{2}

在

[0, a_{n}]

恰非负。坑：

\frac{S _{n}}{a _{n}}

化简后是

\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{n ( n + 1 )}

，用裂项

\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

求和得

\frac{4}{3}

。

解答

本题考查两曲线所围面积（定积分几何应用）与级数求和（裂项）。 先求交点。

由

n x^{2} + \frac{1}{n} = (n + 1) x^{2} + \frac{1}{n + 1}

得

x^{2} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n ( n + 1 )}

，故

a_{n} = \frac{1}{n ( n + 1 )}

。

由对称性

S_{n} = 2 \int_{0}^{a_{n}} [(n x^{2} + \frac{1}{n}) - ((n + 1) x^{2} + \frac{1}{n + 1})] d x = 2 \int_{0}^{a_{n}} [\frac{1}{n ( n + 1 )} - x^{2}] d x = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{n ( n + 1 ) n ( n + 1 )}

。

于是

\frac{S _{n}}{a _{n}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{n ( n + 1 )}

，

n = 1 \sum \infty \frac{S _{n}}{a _{n}} = \frac{4}{3} n = 1 \sum \infty (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3}

。

1998 年考研数学（三） 第 15 题