1998 年考研数学（三） 第 14 题

结论含两个中值点 $\xi ,\eta$ 且带 ${\mathrm{e}}^b-{\mathrm{e}}^a$ → 一个用柯西中值定理（配 ${\mathrm{e}}^x$）、一个用拉格朗日，再相除消掉 $f(b)-f(a)$。坑：条件 $f^{\prime }(x)\ne 0$ 保证可作分母。

本题考查柯西中值定理与拉格朗日中值定理的配合。 右端出现 ${\mathrm{e}}^b-{\mathrm{e}}^a$ 与 ${\mathrm{e}}^{-\eta }$，提示对 $f$ 与 ${\mathrm{e}}^x$ 用柯西中值定理。

令 $h(x)={\mathrm{e}}^x$，$h^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x\ne 0$。由柯西中值定理，存在 $\eta \in (a,b)$ 使 $\frac{f(b)-f(a)}{{\mathrm{e}}^b-{\mathrm{e}}^a}=\frac{f^{\prime }(\eta )}{{\mathrm{e}}^{\eta }}$，即 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{{\mathrm{e}}^b-{\mathrm{e}}^a}{b-a}\cdot \frac{f^{\prime }(\eta )}{{\mathrm{e}}^{\eta }}$。

再由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

两式联立：$f^{\prime }(\xi )=\frac{{\mathrm{e}}^b-{\mathrm{e}}^a}{b-a}\cdot \frac{f^{\prime }(\eta )}{{\mathrm{e}}^{\eta }}$，因 $f^{\prime }(\eta )\ne 0$，故 $\frac{f^{\prime }(\xi )}{f^{\prime }(\eta )}=\frac{{\mathrm{e}}^b-{\mathrm{e}}^a}{b-a}{\mathrm{e}}^{-\eta }$，证毕。