1998 年考研数学（三） 第 18 题

$\mathbf{B}=(k\mathbf{E}+\mathbf{A}{)}^2$ 的相似对角化 → 特征值随多项式变换：${\lambda }_i(\mathbf{A})\to (k+{\lambda }_i{)}^2$。坑：正定要求每个 $(k+{\lambda }_i{)}^2>0$，即 $k$ 不等于任一 $-{\lambda }_i$（这里 $k\ne 0,-2$）。

本题考查实对称矩阵的相似对角化与正定判别（正定 ⟺ 全部特征值大于 $0$）。

$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& 0& -1\\ 0& \lambda -2& 0\\ -1& 0& \lambda -1\end{array}\right|=\lambda (\lambda -2{)}^2$，故 $\mathbf{A}$ 的特征值 ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2={\lambda }_3=2$。

$\mathbf{A}$ 为实对称，存在正交阵 $\mathbf{Q}$ 使 ${\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathrm{diag}(0,2,2)$，于是 ${\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}(k\mathbf{E}+\mathbf{A})\mathbf{Q}=\mathrm{diag}(k,k+2,k+2)$，故 ${\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\mathbf{Q}=\mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}(k^2,(k+2{)}^2,(k+2{)}^2)$。

$\mathbf{B}=(k\mathbf{E}+\mathbf{A}{)}^2$ 为实对称，其特征值为 $k^2,(k+2{)}^2,(k+2{)}^2$。$\mathbf{B}$ 正定 ⟺ 特征值全正 ⟺ $k^2>0$ 且 $(k+2{)}^2>0$ ⟺ $k\ne 0$ 且 $k\ne -2$。