1997 年考研数学（三） 第 9 题

看到「同阶可逆矩阵必有的关系」→ 只有等价（$PAQ=B$，秩相等即可）一定成立。坑：别把相似/合同当等价——它们分别还需特征值/惯性指数相同，条件更强。

本题考查矩阵的等价、相似、合同三种关系的区别。 核心：两矩阵等价 $⟺$ 同型且秩相等（可写成 $PAQ=B$，$P,Q$ 可逆）。

$A,B$ 同阶可逆 $\Rightarrow r(A)=r(B)=n$，故 $A$ 与 $B$ 等价，存在可逆 $P,Q$ 使 $PAQ=B$，D 正确。

反例排除其余：矩阵乘法一般不可交换，A 错；$P^{-1}AP=B$ 是相似、$C^{T}AC=B$ 是合同，秩相等并不能保证相似或合同（相似要求特征值相同、合同要求正负惯性指数相同），故 B、C 不一定成立。选 D。