1997 年考研数学（三） 第 8 题

看到「原组无关，判新组是否无关」→ 写系数矩阵 $M$，$|M|\ne 0$ 即无关；或直接找零组合排除。坑：$|M|=0$（如轮换 $+,+,-$ 型）往往相关，先扫这类明显组合。

本题考查线性无关的判定：新向量组 $({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)M$，因 ${\alpha }_i$ 无关，${\beta }_j$ 无关 $⟺$ 系数矩阵 $M$ 可逆（$|M|\ne 0$）。

选项 C：$({\alpha }_1+2{\alpha }_2,2{\alpha }_2+3{\alpha }_3,3{\alpha }_3+{\alpha }_1)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 2& 0\\ 0& 3& 3\end{array}\right)$，其行列式 $=12\ne 0$，故 $M$ 可逆，向量组线性无关。

其余用「找出零组合」排除：A 有 $({\alpha }_1+{\alpha }_2)-({\alpha }_2+{\alpha }_3)+({\alpha }_3-{\alpha }_1)=0$；B 有 $({\alpha }_1+{\alpha }_2)+({\alpha }_2+{\alpha }_3)-({\alpha }_1+2{\alpha }_2+{\alpha }_3)=0$；D 的系数矩阵行列式为 $0$。故 A、B、D 均线性相关，选 C。